Question

【題目】已知拋物線.

（Ⅰ）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）若該拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，拋物線的最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)。

（Ⅲ)點(diǎn)，為拋物線上的兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，均有，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（Ⅲ）的取值范圍是.

【解析】

（Ⅰ）把點(diǎn)代入中，得到關(guān)于a的方程，解方程求出a的值，從而確定拋物線的解析式，即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）先求出拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的圖像和自變量的取值范圍確定y的最大值和最小值，再根據(jù)拋物線的最高點(diǎn)為的縱坐標(biāo)為，求出a的值，從而確定點(diǎn)M、 N的坐標(biāo).

（Ⅲ）當(dāng)t≤x1≤t+1，x2≥3時(shí)，均滿足y1≥y2，推出拋物線開(kāi)口向下，找出x=3時(shí)的對(duì)稱點(diǎn)為x=-1, 結(jié)合函數(shù)圖像可得：t+1≤3，由此即可解決問(wèn)題；

解：（Ⅰ）∵拋物線經(jīng)過(guò)，∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

（Ⅱ）拋物線的對(duì)稱軸為直線.

∵拋物線開(kāi)口向上，

∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；

當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大.

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值.

由，解得.

當(dāng)時(shí)，.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，不合題意，∴.

由，解得或.

由，解得.

∴的取值范圍是.