Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中點，過點D作⊙O的切線，分別交AC、AB的延長線于點E和點F，連接CD、BD．

（1）求證：∠A＝2∠BDF；

（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】

（1）連接AD，如圖，利用圓周角定理得∠ADB=90°，利用切線的性質(zhì)得OD⊥DF，則根據(jù)等角的余角相等得到∠BDF=∠ODA，所以∠OAD=∠BDF，然后證明∠COD=∠OAD得到∠CAB=2∠BDF；
（2）連接BC交OD于H，如圖，利用垂徑定理得到OD⊥BC，則CH=BH，于是可判斷OH為△ABC的中位線，所以OH=1.5，則HD=1，然后證明四邊形DHCE為矩形得到CE=DH=1．

（1）證明：連接AD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵EF為切線，

∴OD⊥DF，

∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，

∴∠BDF＝∠ODA，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠OAD＝∠BDF，

∵D是弧BC的中點，

∴∠COD＝∠OAD，

∴∠CAB＝2∠BDF；

（2）解：連接BC交OD于H，如圖，

∵D是弧BC的中點，

∴OD⊥BC，

∴CH＝BH，

∴OH為△ABC的中位線，

∴，

∴HD＝2.5－1.5＝1，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴四邊形DHCE為矩形，

∴CE＝DH＝1．