Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5，OA⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．

（1）試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由；
（2）若 ，求⊙O的半徑和線段PB的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：AB=AC，理由如下：

連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）解：延長AP交⊙O于D，連接BD，

設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，

則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

AC2=PC2﹣PA2=（2 ）2﹣（5﹣r）2，

∴52﹣r2=（2 ）2﹣（5﹣r）2，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直徑，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴ ，

∴ ，

∴BP= ，

答：圓的半徑是3，線段PB的長為 ．

【解析】（1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，得出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可。
（2）延長AP交 O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，根據AB=AC，建立方程求出t的值，再證明△DPB∽△CPA，得出對應邊成比例，求出BP的長。