Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經過A，C兩點，與x軸的另一交點為B．

（1）求拋物線解析式及B點坐標；

（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC，當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；

（3）如圖2，若P點是半徑為2的⊙B上一動點，連接PC、PA，當點P運動到某一位置時，PC+PA的值最小，請求出這個最小值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）當M（3，﹣4）時，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18；（3）PC+PA的最小值為，理由詳見解析.

【解析】

（1）由直線y＝﹣5x+5求點A、C坐標，用待定系數法求拋物線解析式，進而求得點B坐標．

（2）從x軸把四邊形AMBC分成△ABC與△ABM；由點A、B、C坐標求△ABC面積；設點M橫坐標為m，過點M作x軸的垂線段MH，則能用m表示MH的長，進而求△ABM的面積，得到△ABM面積與m的二次函數關系式，且對應的a值小于0，配方即求得m為何值時取得最大值，進而求點M坐標和四邊形AMBC的面積最大值．

（3）作點D坐標為（4，0），可得BD＝1，進而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根據兩邊對應成比例且夾角相等可證△PBD∽△ABP，得等于相似比，進而得PD＝AP，所以當C、P、D在同一直線上時，PC+PA＝PC+PD＝CD最小．用兩點間距離公式即求得CD的長．

解：（1）直線y＝﹣5x+5，x＝0時，y＝5

∴C（0，5）

y＝﹣5x+5＝0時，解得：x＝1

∴A（1，0）

∵拋物線y＝x2+bx+c經過A，C兩點

∴ 解得：

∴拋物線解析式為y＝x2﹣6x+5

當y＝x2﹣6x+5＝0時，解得：x1＝1，x2＝5

∴B（5，0）

（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于點H

∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）

∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5

∴S△ABC＝ABOC＝×4×5＝10

∵點M為x軸下方拋物線上的點

∴設M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）

∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5

∴S△ABM＝ABMH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8

∴S四邊形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18

∴當m＝3，即M（3，﹣4）時，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18

（3）如圖2，在x軸上取點D（4，0），連接PD、CD

∴BD＝5﹣4＝1

∵AB＝4，BP＝2

∴

∵∠PBD＝∠ABP

∴△PBD∽△ABP

∴

∴PD＝AP

∴PC+PA＝PC+PD

∴當點C、P、D在同一直線上時，PC+PA＝PC+PD＝CD最小

∵CD＝

∴PC+PA的最小值為