Question

【題目】如圖1，△ABC為等腰三角形，AB=AC=a，P點是底邊BC上的一個動點，PD∥AC，PE∥AB．

⑴用a表示四邊形ADPE的周長為 ；

⑵點P運動到什么位置時，四邊形ADPE是菱形，請說明理由；

⑶如果△ABC不是等腰三角形(圖2)，其他條件不變，點P運動到什么位置時，四邊形ADPE是菱形(不必說明理由)．

Answer 1

【答案】⑴2a；⑵見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）由題意可得四邊形ADPE為平行四邊形，由平行線的性質和等腰三角形的性質可得DB=DP，即可求四邊形ADPE的周長；

（2）當P為BC中點時，四邊形ADPE是菱形，由等腰三角形的性質和平行線的性質可得AE=EP，則平行四邊形ADPE是菱形；

（3）P運動到∠A的平分線上時，四邊形ADPE是菱形，首先證明四邊形ADPE是平行四邊形，再根據平行線的性質可得∠1=∠3，從而可證出∠2=∠3，進而可得AE=EP，然后可得四邊形ADPE是菱形．

解：⑴∵PD∥AC，PE∥AB，

∴四邊形ADPE為平行四邊形，

∴AD=PE，DP=AE，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DP∥AC，

∴∠B=∠DPB，

∴DB=DP，

∴四邊形ADPE的周長=2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB=2a；

故答案為：2a；

⑵當P為BC中點時，四邊形ADPE是菱形．

理由如下：連結AP，

∵PD∥AC，PE∥AB，

∴四邊形ADPE為平行四邊形，

∵AB=AC，P為BC中點，

∴∠PAD=∠PAE，

∵PE∥AB，

∴∠PAD=∠APE，

∴∠PAE=∠APE，

∴EA=EP，

∴四邊形ADPE是菱形；

⑶P運動到∠A的平分線上時，四邊形ADPE是菱形，

∵PD∥AC，PE∥AB，

∴四邊形ADPE是平行四邊形，

∵AP平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵AB∥EP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AE=EP，

∴四邊形ADPE是菱形．