Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC的邊長為4， 點O是的中心， ∠FOG = 120°， 繞點O旋轉∠FOG，分別交線段AB、BC于D、 E兩點，連接DE，給出下列四個結論:①OD= OE;②;③四邊形ODBE的面積始終等于;④周長的最小值為6.上述結論中正確的有_________(寫出序號)

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的性質得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再證明∠BOD=∠COE，于是可判斷△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，則可對①進行判斷；利用S△BOD=S△COE得到四邊形ODBE的面積=S△ABC=，則可對③進行判斷；作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，計算出S△ODE=OE2，利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對②進行判斷；由于△BDE的周長=BC+DE=4+DE=4+OE，根據垂線段最短，當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，計算出此時OE的長則可對④進行判斷．

解：連接OB、OC，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵點O是△ABC的中心，
∴OB=OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，
而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中

∴△BOD≌△COE，
∴BD=CE，OD=OE，所以①正確；
∴S△BOD=S△COE，
∴四邊形ODBE的面積=S△OBC==S△ABC==,所以③正確；

作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°，
∴OH=OE，HE=OH=OE，
∴DE=OE，
∴S△ODE=OEOE=OE2，
即S△ODE隨OE的變化而變化，
而四邊形ODBE的面積為定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②錯誤；
∵BD=CE，
∴△BDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE，
當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，此時OE= ，
∴△BDE周長的最小值=4+2=6，所以④正確．

故答案為：①③④