Question

【題目】在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則稱這個點為強點．例如，圖中過點P分別作x軸，y軸的垂線與坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點P是強點．

（1）點M(l，2)，N(4，4)，Q(6，－3)中，是強點的有 ；

（2）若強點P(2a，3)在雙曲線上，求a和b的值．

Answer 1

【答案】（1）N，Q；（2）a=3，b=20或a=3，b=16

【解析】

（1）利用矩形的周長公式、面積公式結合強點的定義，即可找出點N，Q是強點；

（2）分a>0及a<0兩種情況考慮：①當a>0時，利用強點的定義可得出關于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出b值；②當a<0時，利用強點的定義可得出關于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出b值．綜上，即可得出結論．

（1）∵M(l,2)，N(4,4)，Q(6,－3)

∵(1+2)×2≠1×2，(4+4)×2=4×4，(6+3)×2=6×3，

∴點N，Q是強點．

故答案為：N，Q

（2）分兩種情況考慮：

①當a>0時，(2a+3)×2=6a，

∴a=3

∵點P(6,3)在雙曲線上，

∴3×6= b-2，

∴b=20；

②當a<0時，(2a+3)×2=6a，

∴a=3

∵點P(6,3)在雙曲線上，

∴3×(-6)=b-2，

∴b=16

綜上所述：a=3，b=20或a=3，b=16

故答案為：a=3，b=20或a=3，b=16