Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D，P為AC延長線上一點，且∠PBC＝∠BAC，連接DE，BE．

（1）求證：BP是⊙O的切線；

（2）若sin∠PBC＝，AB＝10，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接AD，求出∠PBC＝∠ABC，求出∠ABP＝90°，根據切線的判定得出即可；

（2）解直角三角形求出BD，求出BC，根據勾股定理求出AD，根據相似三角形的判定和性質求出BE，根據相似三角形的性質和判定求出BP即可．

（1）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠BAC，

∵∠ADB=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∵∠PBC=∠BAC，

∴∠PBC+∠ABD=90°，

∴∠ABP=90°，即AB⊥BP，

∴PB是⊙O的切線；

（2）∵∠PBC=∠BAD，

∴sin∠PBC=sin∠BAD，

∵sin∠PBC==，AB=10，

∴BD=2，由勾股定理得：AD==4，

∴BC=2BD=4，

∵由三角形面積公式得：AD×BC=BE×AC，

∴4×4=BE×10，

∴BE=8，

∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=6，

∵∠BAE=∠BAP，∠AEB=∠ABP=90°，

∴△ABE∽△APB，

∴=，

∴PB===．