Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AP和BQ分別為∠BAC和∠ABC的角平分線，若△ABQ的周長為18，BP=4，則AB的長為_____________

Answer 1

【答案】7

【解析】

根據角平分線的定義得到∠CBQ=∠ABC，再由等角對等邊得到CQ=BQ，得到BQ+AQ=CQ+AQ=AC；過點P作PD∥BQ，由“AAS”可證△ABP≌△ADP，由全等三角形的性質可得AB=AD，BP=DP，得到AB+BP=AD+CD=AC，即BQ+AQ=AB+BP，即可得出AB的長．

解：∵BQ是∠ABC的角平分線，

∴∠CBQ=∠ABC．

又∵∠ABC=2∠C，

∴∠CBQ=∠ABC=∠C，

∴ BQ=CQ，

∴ BQ+AQ=CQ+AQ=AC（1）．

如圖所示，過點P作PD∥BQ交CQ于點D，

則∠CPD=∠CBQ，∠ADP=∠AQB，

∵∠AQB=∠C+∠CBQ=2∠C，

∴∠ADP=2∠C，

∴∠ABC=∠ADP．

又∵AP是∠BAC的角平分線，

∴∠BAP=∠CAP．

在△ABP和△ADP中，

，

∴△ABP≌△ADP（AAS），

∴AB=AD，BP=DP，

∴AB+BP=AD+CD=AC（2），

由（1）（2）得：BQ+AQ=AB+BP，

又∵△ABQ的周長為18，BP=4，

∴18－AB= AB+4，

∴ AB=7．

故答案為：7．