Question

【題目】如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為α．在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE、DG．
（1）當正方形AEFG旋轉至如圖2所示的位置時，求證：BE=DG；
（2）如圖3，如果α=45°，AB=2，AE=4 ，求點G到BE的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋轉的性質可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性質可知：AB=AD，AE=AG．

∵在△ABE和△ADG中， ，

∴△ABE≌△ADG．

∴BE=DG．

（2）解：連接GE、BG，延長AD交GE與H．

當α=45°時，則∠BAD=45°．

∵∠BAD=∠EAG=90°．

∴∠EAH=∠GAH=45°．

又∵AE=AG，

∴AH⊥GE．

又∵AH⊥AB，∠EAH=45°，

∴△AHE為等腰直角三角形．

∴EH=AH= AE=4．

∴EG=2EH=8．

∴S△BEG= EGAH= ×8×4=16．

設點G到BE的距離為h．

S△BEG= EBh=16，即 ×4 h=16，解得h=4 ．

∴點G到BE的距離為4

【解析】（1）由旋轉的性質得到∠BAE=∠DAG，由正方形的性質得到AB=AD，AE=AG，然后依據SAS可證明△ABE≌△ADG，然后依據全等三角形的性質進行證明即可；（2）連接GE、BG，延長AD交GE與H．當α=45°時，可證明△AHE為等腰直角三角形，然后可求得AH和HE的長，然后依據等腰三角形三線合一的性質可得到EG=2HE，最后在△BEG中，利用面積法可求得點G到BE的距離．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質和旋轉的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．