Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+mx+n﹣1的對稱軸為x=2．
（1）m的值為；
（2）若拋物線與y軸正半軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B，當△OAB是等腰直角三角形時，求n的值；
（3）點C的坐標為（3，0），若該拋物線與線段OC有且只有一個交點，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）-4
（2）解：把m=﹣4代入拋物線y=x2+mx+n﹣1得：

y=x2﹣4x+n﹣1，

當x=0時，y=n﹣1，

∴A（0，n﹣1），B（2，0），

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴OA=OB，

即：n﹣1=2，n=3

（3）解：①如圖1，當拋物線頂點在x軸上時，

△=0，（﹣4）2﹣4×1×（n﹣1）=0

n=5，

②如圖2，當拋物線過點C（3，0）時，

把（3，0）代入得：32﹣4×3+n﹣1=0，

n=4，

③如圖3，當拋物線過原點時，n﹣1=0，n=1，

結合圖象可得，1≤n＜4或n=5．

【解析】解：（1）對稱軸：x=﹣ =2，m=﹣4；
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．