Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D，經過A，D兩點的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與邊BC相切于點E，與x軸交于點M，與y軸相交于另一點G，連接AE．

（1）求證：AE平分∠BAC；

（2）若點A，D的坐標分別為（0，﹣1），（2，0），求⊙F的半徑；

（3）求經過三點M，F，D的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙F的半徑為；（3）y＝﹣x2+．

【解析】

（1）連接FE，先根據切線的性質知∠FEC＝90°，結合∠C＝90°證FE∥AC得∠EAC＝∠FEA，根據FA＝FE知∠FAE＝∠FEA，從而得∠FAE＝∠CAE，即可得證；

（2）連接FD，設⊙F的半徑為r，根據FD2＝（AF﹣AO）2+OD2知r2＝（r﹣1）2+22，解之可得；

（3）根據圓的對稱性得出點M的坐標，設拋物線的交點式，將點F坐標代入計算可得．

（1）連接FE，

∵⊙F與邊BC相切于點E，

∴∠FEC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠FEC+∠ACB＝180°，

∴FE∥AC，

∴∠EAC＝∠FEA，

∵FA＝FE，

∴∠FAE＝∠FEA，

∴∠FAE＝∠CAE，

∴AE平分∠BAC；

（2）連接FD，

設⊙F的半徑為r，

∵A（0，﹣1），D（2，0），

∴OA＝1，OD＝2，

在Rt△FOD中，FD2＝（AF﹣AO）2+OD2，

∴r2＝（r﹣1）2+22，

解得：r＝，

∴⊙F的半徑為；

（3）∵FA＝r＝，OA＝1，FO＝，

∴F（0，），

∵直徑AG垂直平分弦MD，點M和點D（2，0）關于y軸對稱軸，

∴M（﹣2，0），

設拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣2），

將點F（0，）代入，得：﹣4a＝，

解得：a＝﹣，

則拋物線解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣2）＝﹣x2+．