Question

【題目】如圖，經過正方形ABCD的頂點A在其外側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE、DE，其中DE交直線AP于點F．

（1）依題意補全圖1．

（2）若∠PAB＝30°，求∠ADF的度數．

（3）如圖，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，FE，FD之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠ADF＝15°；（3）EF2+FD2＝2AB2，見解析.

【解析】

（1）過B作AP的垂線段，并延長至E，使B、E到AP的垂線段相等，得出B的對稱點E，連接BE、DE即可；
（2）連接AE，由軸對稱的性質得出∠PAB=∠PAE=30°，AE=AB=AD，得出∠AED=∠ADF，求出∠EAD=150°，即可求出∠ADF的度數；
（3）連接AE、BF、BD，由軸對稱的性質得出EF=BF，AE=AB=AD，得出∠ABF=∠AEF=∠ADF，求出∠BFD=∠BAD=90°，根據勾股定理得出BF2+FD2=BD2，即可得出結論．

解：（1）如圖1、圖2所示：

（2）連接AE，如圖3所示：

∵點B關于直線AP的對稱點為E，

則∠PAB＝∠PAE＝30°，AE＝AB＝AD，

∴∠AED＝∠ADF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠EAD＝90°+30°+30°＝150°，

∴∠ADF＝（180°﹣∠EAD）＝15°；

（3）連接AE、BF、BD，如圖4所示：

則EF＝BF，AE＝AB＝AD，

∴∠EBF＝∠BEF，∠ABE＝∠AEB

∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，

∴∠BFD＝∠BAD＝90°，

∴BF2+FD2＝BD2，

∵AB2+AD2＝2AB2，EF＝BF，

∴EF2+FD2＝AB2+AD2＝2AB2，

即EF2+FD2＝2AB2．