Question

10．已知如圖，⊙O的直徑AB與弦AC的夾角∠A=30°，AC=CP．
（1）求證：CP是⊙O的切線；
（2）若AB=4$\sqrt{3}$，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OC；運用已知條件證明∠OCP=90°，即可解決問題．
（2）分別求出△OCP、扇形OCB的面積，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，連接OC；
∵OA=OC，AC=CP，
∴∠A=∠OCA=30°，∠P=∠A=30°，
∴∠POC=∠A+∠OCA=60°，
∴∠OCP=180°-60°-30°=90°，
∴CP是⊙O的切線．

（2）∵AB=4$\sqrt{3}$，
∴OC=OB=2$\sqrt{3}$，
∴PC=$\frac{OC}{tan30°}$=6
∴S_△OCP=$\frac{1}{2}$OC•PC
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$•6=6$\sqrt{3}$，
S_扇形OBC=$\frac{60π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2π，
∴圖中陰影部分的面積=6$\sqrt{3}$-2π．

點評 該題主要考查了切線的判定、三角形的面積公式、扇形的面積公式等幾何知識點及其應用問題；解題的方法是作輔助線；解題的關鍵是準確選擇切線的判定方法；靈活運用扇形的面積公式等幾何知識點來分析、判斷、解答．