Question

【題目】如圖，已知BCAC，圓心O在AC上，點M與點C分別是AC與⊙O的交點，點D是MB與⊙O的交點，點P是AD延長線與BC的交點，且ADAOAMAP，連接OP．

（1）證明：MD//OP；

（2）求證：PD是⊙O的切線；

（3）若AD24，AMMC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明，然后利用平行線的判定定理即可．

（2）欲證明PD是⊙O的切線，只要證明OD⊥PA即可解決問題；

（3）連接CD．由（2）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，，可得，推出，推出，，由，可得，再利用全等三角形的性質求出MD即可解決問題；

（1）證明：連接、、．

∵，，

∴，

∴，

∴，

（2）∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是的切線．

（3）連接．由（1）可知：，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，∴，，

∵，

∴，

∵是的中點，

∴，

∴點是的中點，

∴，

∵是的直徑，

∴，在中，

∵，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴．