Question

（2012•張家界）如圖，拋物線y=-x²+

5 3

3

x+2與x軸交于C、A兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D．
（1）分別求出點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象過點(diǎn)D，求k的取值；
（4）現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿AB、AO方向向B、O移動(dòng)，點(diǎn)P每秒移動(dòng)1個(gè)單位，點(diǎn)Q每秒移動(dòng)

1

2

個(gè)單位，設(shè)△POQ的面積為S，移動(dòng)時(shí)間為t，問：在P、Q移動(dòng)過程中，S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，能確定拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（即B點(diǎn)坐標(biāo)）；令y=0，能確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（即A、C的坐標(biāo)）．
（2）由（1）的結(jié)果，利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式．
（3）欲求出反比例函數(shù)的解析式，需要先得到D點(diǎn)的坐標(biāo)．已知A、B的坐標(biāo)，易判斷出△OAB是含特殊角的直角三角形，結(jié)合O、D關(guān)于直線AB對(duì)稱，可得出OD的長(zhǎng)，結(jié)合∠DOA的讀數(shù)，即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得解．
（4）首先用t列出AQ、AP的表達(dá)式，進(jìn)而可得到P到x軸的距離，以O(shè)Q為底、P到x軸的距離為高，可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到S的最大值及此時(shí)t的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A、C均在X軸上，
令y=0，則-x²+

5

3

3

x+2=0；
解得 x₁=-

3

3

，x₂=2

3

．
∴C（-

3

3

，0）、A（2

3

，0）．
令x=0，得y=2，
∴B（0，2）．
綜上，A（2

3

，0）、B（0，2）．

（2）令直線AB的解析式為y=k₁x+2，
∵點(diǎn)A（2

3

，0）在直線上，
∴0=2

3

k₁+2
∴k₁=-

3

3

∴直線AB的解析式為y=-

3

3

x+2．

（3）由A（2

3

，0）、B（0，2）得：OA=2

3

，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；
∵D與O點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，∠DOA=60°，
∴OD=OA=2

3

∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

，縱坐標(biāo)為3，即D（

3

，3）．
因?yàn)閥=

k

x

過點(diǎn)D，
∴3=

k

3

，
∴k=3

3

．

（4）∵AP=t，AQ=

1

2

t，P到x軸的距離：AP•sin30°=

1

2

t，OQ=OA-AQ=2

3

-

1

2

t；
∴S_△OPQ=

1

2

•（2

3

-

1

2

t）•

1

2

t=-

1

8

（t-2

3

）²+

3

2

；
依題意有，

t≤4 1 2 t≤2 3 t＞0

解得0＜t≤4．
∴當(dāng)t=2

3

時(shí)，S有最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形面積的解法等，在解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問題時(shí)，一定要注意未知數(shù)的取值范圍．