Question

【題目】如圖1，OABC的邊OC在x軸的正半軸上，OC=5，反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，4）．

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式和點B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過BC的中點D作DP∥x軸交反比例函數(shù)圖象于點P，連接AP、OP．
①求△AOP的面積；
②在OABC的邊上是否存在點M，使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，4），

∴m=1×4=4，

∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y= （x＞0）．

∵四邊形OABC為平行四邊形，且點O（0，0），OC=5，點A（1，4），

∴點C（5，0），點B（6，4）

（2）

解：①延長DP交OA于點E，如圖3所示．

∵點D為線段BC的中點，點C（5，0）、B（6，4），

∴點D（ ，2）．

令y= 中y=2，則x=2，

∴點P（2，2），

∴PD= ﹣2= ，EP=ED﹣PD= ，

∴S△AOP= EP（yA﹣yO）= × ×（4﹣0）=3．

②假設(shè)存在．以O(shè)P為直徑作圓，交OC于點M1，交OA于點M2，連接PM1、PM2，如圖4所示．

∵點P（2，2），O（0，0），

∴點M1（2，0）；

∵點A（1，4），點O（0，0），

∴直線OA的關(guān)系式為y=4x．

設(shè)點M2（n，4n），

OM2= n，OP=2 ，PM2= ，

∵∠OM2P=90°，

∴ + =OP2，即17n2+17n2﹣20n+8=8，

解得：n= ，或n=0（舍去），

∴點M2（ ， ）．

故在OABC的邊上存在點M，使得△POM是以PO為斜邊的直角三角形，點M的坐標(biāo)為（2，0）或（ ， ）．

【解析】（1）由點A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合點A、O、C的坐標(biāo)即可求出點B的坐標(biāo)；（2）①延長DP交OA于點E，由點D為線段BC的中點，可求出點D的坐標(biāo)，再令反例函數(shù)關(guān)系式中y=2求出x值即可得出點P的坐標(biāo)，由此即可得出PD、EP的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；②假設(shè)存在，以O(shè)P為直徑作圓，交OC于點M1 ， 交OA于點M2 ， 通過解直角三角形和勾股定理求出點M1、M2的坐標(biāo)，此題得解．本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式、平行四邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)解析式；（2）①求出EP長度；②以O(shè)P為直徑作圓，找出點M的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過作圓來確定點的數(shù)目與位置是關(guān)鍵．
【考點精析】利用平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．