Question

如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C＝90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經過點E，交BC于點F.

(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)已知sin A＝，⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）見解析   （2）6－π

(1)證明：連接OE.∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE是△ABC角平分線，
∴∠OBE＝∠EBC，∴∠OEB＝∠EBC，
∴OE∥BC.
∵∠C＝90°，∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切線．
(2)解：連接OF.
∴sin A＝，∴∠A＝30°.
∵⊙O的半徑為4，∴AO＝2OE＝8，
∴AE＝4，∠AOE＝60°，∴AB＝12，
∴BC＝AB＝6，AC＝6，
∴CE＝AC－AE＝2.
∴OB＝OF，∠ABC＝60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB＝60°，CF＝6－4＝2，∴∠EOF＝60°.
∴S_梯形OECF＝×(2＋4)×2＝6.
S_扇形EOF＝＝π.
∴S_陰影部分＝S_梯形OECF－S_扇形EOF＝6－π.