Question

【題目】如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠B=∠D=90°，點E，F分別在邊BC，CD上，將AB，AD分別沿AE，AF折疊，點B，D恰好都和點G重合，∠EAF=45°．

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

（2）求證：三角形ECF的周長是四邊形ABCD周長的一半；

（3）若EC=FC=1，求AB的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）+1

【解析】分析：（1）由題意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四邊形ABCD是矩形，根據正方形的判定定理即可得到結論；

（2）根據EG=BE，FG=DF，得到EF=BE+DF，于是得到△ECF的周長=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，即可得到結論；

（3）根據EC=FC=1，得到BE=DF，根據勾股定理得到EF=，于是得到結論．

詳（1）證明：由題意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，

∴∠BAD=2∠EAF=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∵AB=AG，AD=AG，

∴AB=AD，

∴四邊形ABCD是正方形；

（2）證明：∵EG=BE，FG=DF，

∴EF=BE+DF，

∴△ECF的周長=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，

∴三角形ECF的周長是四邊形ABCD周長的一半；

（3）∵EC=FC=1，

∴BE=DF，

∴EF=，

∵EF=BE+DF，

∴BE=DF=EF=，

∴AB=BC=BE+EC=+1．