Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C：連接BC，點P為線段BC上方拋物線上的一動點，連接OP交BC于點Q．

（1）如圖1，當值最大時，點E為線段AB上一點，在線段BC上有兩動點M，N（M在N上方），且MN=1，求PM+MN+NE-BE的最小值；

（2）如圖2，連接AC，將△AOC沿射線CB方向平移，點A，C，O平移后的對應點分別記作A1，C1，O1，當C1B=O1B時，連接A1B、O1B，將△A1O1B繞點O1沿順時針方向旋轉90°后得△A2O1B1在直線x=上是否存在點K，使得△A2B1K為等腰三角形？若存在，直接寫出點K的坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）K1（，），K2（，-2），K3（，-5），K4（，）

【解析】

（1）先求出拋物線與坐標軸的交點坐標，待定系數法求出直線BC解析式，過P作PT∥y軸交BC于T，構造△PTQ∽△ACQ，設點P的橫坐標為m，通過相似三角形性質得出關于m的函數表達式，利用二次函數最值即可；

（2）存在．先求出△AOC沿射線CB方向平移，并能使C1B=O1B時△A1O1B各頂點的坐標，在求出△A1O1B繞點O1沿順時針方向旋轉90°后得△A2O1B1的各頂點坐標，最后按照△A2B1K為等腰三角形進行分類討論即可．

解：（1）在拋物線y=-x2+x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得-x2+x+3=0，解得：x1=-1，x2=4，∴B（4，0）

設直線BC解析式為y=kx+b，將B（4，0），C（0，3）；代入并解得：k=，b=3

∴直線BC解析式為y=x+3；

過P作PT∥y軸交BC于T，設P（t，++3），則T（t，+3），如圖所示：

∴PT=（++3）-（+3）=+3t，OC=3；

∵PT∥y軸

∴△PTQ∽△ACQ

∴==+t=

∴當t=2時，值最大；此時，P（2，），PT=3；

在Rt△BOC中，BC==5，

∴當NE⊥BC時，NE=BE，此時，NE-BE=0最小，

∵MN=1，∴PM+MN的最小值即PM最小值

∴PM⊥BC時，PM最小

過P作PM⊥BC于M，∴∠PMT=∠BOC=90°

∵∠PTM=∠BCO

∴=

∴PM=PT=，

故PM+MN+NE-BE的最小值=；

（2）存在．在△AOC中，∠AOC=90°，OA=1，OC=3，∴AC=

如圖2，

由平移得：C1O1=OC=3，A1O1=OA=1，A1C1=AC=，

∵C1B=O1B，C1O1⊥OB

∴C1G=C1O1=

∴BG=2，OG=2

∴C1（2，），O1（2，），A1（1，）；

∴C1B=O1B=，A1B==；

∵△A1O1B繞點O1沿順時針方向旋轉90°后得△A2O1B1，

∴A2O1=1，O1B1=，A2B1=；

∴A2（2，），B1（，）

∵△A2B1K為等腰三角形，

∴A2K=B1K或A2B1=B1K或A2K=A2B1，

設K（，m）

①當A2K=B1K時，則：+=+，解得：m=-，∴K1（，），

②當A2B1=B1K時，則：+=，解得：m1=-2，m2=-5，∴K2（，-2），K3（，-5），

③當A2K=A2B1時，則：+=，解得：m1=（舍），m2=，∴K4（，）；

綜上所述，點K的坐標為：K1（，），K2（，-2），K3（，-5），K4（，）．