Question

13．已知△ABC，且△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形．
（1）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；
（2）當△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形ADFE是矩形；
（3）當△ABC滿足AB=AC且∠BAC=150°時，四邊形ADFE是正方形．

Answer 1

分析 （1）由△DFB≌△ACB，推出DF=AC=AE，同理由△CEF≌△CAB，得EF=AB=AD，由此根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可證明．
（2）若∠BAC=150°，則平行四邊形AEFD是矩形；只要證明∠DAE=90$°\\;\$即可．
（3）若AB=AC，∠BAC=150°則平行四邊形AEFD是正方形．只要證明四邊形ADFE是菱形又是矩形即可．

解答 解：（1）證明：∵△ABD、△CBF是等邊三角形，
∴BD=AB，BF=CB，∠DBA=∠FBC=60°，
∴∠DBF=∠ABC=60°-∠ABF，
在△DFB和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AB}\\{∠DBF=∠ABC}\\{BF=BC}\end{array}\right.$
∴△DFB≌△ACB，
∴DF=AC=AE，
同理由△CEF≌△CAB，得EF=AB=AD，
∵AD=EF，FD=EA，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）若∠BAC=150°，則平行四邊形AEFD是矩形；
理由：由（1）知四邊形AEFD是平行四邊形，則∠EAD=90°時，可得平行四邊形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，
即△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形AEFD是矩形；
故答案為∠BAC=150°．
（3）若AB=AC，∠BAC=150°則平行四邊形AEFD是正方形；
由（1）可知AD=AE，四邊形ADFE是平行四邊形，
∴四邊形ADFE是菱形，
∵∠BAC=150°，由（2）可知四邊形ADFE是矩形，
∴四邊形ADFE是正方形．

點評 此題考查了平行四邊形及特殊平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質，熟練掌握特殊四邊形的判定方法和性質是解答此題的關鍵，屬于中考常考題型．