Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線BE與AD交于點E，∠BED的平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF=2FC，則BC= ． （結果保留根號）

Answer 1

【答案】
【解析】解：延長EF和BC，交于點G

∵矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E，

∴∠ABE=∠AEB=45°，

∴AB=AE=9，

∴直角三角形ABE中，BE= = ，

又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點F，

∴∠BEG=∠DEF

∵AD∥BC

∴∠G=∠DEF

∴∠BEG=∠G

∴BG=BE=

由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC

∴

設CG=x，DE=2x，則AD=9+2x=BC

∵BG=BC+CG

∴ =9+2x+x

解得x=

∴BC=9+2（ ﹣3）=

故答案為：

在矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E，得到∠ABE=∠AEB=45°，AB=AE=9，直角三角形ABE中，BE= = ，又∠BED的角平分線EF與DC交于點F，得到∠BEG=∠DEF，由AD∥BC，得到∠G=∠DEF，∠BEG=∠G，BG=BE= ，由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC，得到 ，設CG=x，DE=2x，則AD=9+2x=BC，由BG=BC+CG，得到 =9+2x+x，解得x= ，得到BC=9+2（ ﹣3）=