Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝9，沿EF折疊，使點B落在DC邊上點P處，點A落在Q處，AD與PQ相交于點H．

（1）如圖1，當點P為邊DC的中點時，求EC的長；

（2）如圖2，當∠CPE＝30°，求EC、AF的長；（3）如圖2，在（2）條件下，求四邊形EPHF的面積．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）6﹣2；（3）72﹣30

【解析】

（1）由題意可知PC=3,由翻折的性質可知BE=PE，設EC=x，則PE=9-x，在Rt△PEC中根據勾股定理列方程解答即可；

（2）依據含30°角的直角三角形的性質可知EC與PE關系，設EC=x，則EB=9-x，由翻折的性質可知EP=BE=9-x，列出關于x的方程可求出EC的長，然后利用特殊銳角三角函數值，可求出PC、PD、DH的長，然后設AF=y，由翻折的性質可知AF=QF=y，最后依據FQ=FH列方程解答即可；

（3）連接EH，先求出FH和PH、PE的長，最后依據四邊形FEPH的面積等于△FHE的面積加△HPE面積求解即可。

解：（1）∵ABCD為矩形，∴CD＝AB＝6．∵P是DC的中點，∴PC＝3．

由翻折的性質可知BE＝PE．設EC＝x，則PE＝9﹣x．

在Rt△PEC中，依據勾股定理可知：PE2＝EC2+PC2，即（9﹣x）2＝x2+32，解得：x＝4，

∴EC＝4．

（2）∵∠CPE＝30°，∠C＝90°，∴EC＝PE．

設EC＝x，則EB＝9﹣x，由翻折的性質可知EP＝BE＝9﹣x．

∵EC＝PE，∴x＝×（9﹣x）．解得：x＝3．∴EC＝3．

∴＝，則CP＝3．∴DP＝6﹣3．∵∠EPH＝90°，∠CPE＝30°，

∴∠DPH＝60°．∴DH＝DP＝6﹣9．∴AH＝18﹣6．

設AF＝y，由翻折的性質可知AF＝QF＝y，則FH＝18﹣6﹣y．

∵∠QHF＝30°，∠Q＝90°，∴QF＝FH．

∴y＝×（18﹣6﹣y），解得：y＝6﹣2．

∴AF＝6﹣2

（3）如圖所示：連結EH．

由（2）可知AF＝6﹣2，∴FH＝18﹣6﹣（6﹣2）＝12﹣4．

∵PH＝2DP，EP＝2EC，∴PH＝12﹣6，PE＝6．

∴四邊形FEPH的面積＝△FHE的面積+△HPE的面積＝FHAB+HPEP

＝（12﹣4）×6+×（12﹣6）×6＝72﹣30．