Question

已知直線y=-x+6和反比例函數y=

k

x

（k≠0）．
（1）k滿足什么條件時，這兩個函數在同一坐標系xOy中的圖象有兩個公共點？
（2）設（1）的兩個公共點分別為A、B，∠AOB是銳角還是鈍角？

Answer 1

分析：（1）當比例系數符號相同或組成方程組整理后的一元二次方程的判別式大于0時，兩個函數在同一坐標系xOy中的圖象有兩個公共點；
（2）結合（1）中k的取值范圍，分情況探討∠AOB是銳角還是鈍角．

解答：解：（1）分兩種情況：
①當比例系數符號相同，即k＜0時，這兩個函數在同一坐標系xOy中的圖象有兩個公共點；
②解方程組

y=-x+6 y= k x

，
整理得：x²-6x+k=0，
∵它們有兩個公共點，
∴36-4k＞0，
解得k＜9，在第一，三象限，
∴0＜k＜9．
故當0＜k＜9或k＜0時，這兩個函數在同一坐標系xOy中的圖象有兩個公共點；

（2）①當k＜0時，如圖1，點A、點B分別在第二、四象限，連接OA、OB，可知∠AOB＞∠xoy=90°，故∠AOB為鈍角；

②當0＜k＜9時，如圖2，點A、點B都在第一象限，連接OA、OB，可知∠AOB＜∠xOy=90°，故∠AOB為銳角．

點評：一次函數和反比例函數有兩個交點時，這兩個交點可能在兩個不同的象限內，也可能在同一個象限內．