Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于A（－1，0），B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為x=1．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上求一點P，使點P到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點P的坐標；

（3）是否存在過A，B兩點的拋物線，其頂點M關于x軸的對稱點為N，使得四邊形AMBN為正方形？若存在，請直接寫出此拋物線的函數表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+2x+3；（2）點P（1，2）；（3）存在，理由見解析；或

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸x=1和點A坐標求出點B坐標，將A、B兩點代入表達式解出b、c值即可；

（2）連接BC，與x軸交于點P，此時點P滿足到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出BC表達式，令x=1，求出函數值，可得點P坐標；

（3）根據正方形的性質，可得M、N點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式．

綜合與探究

解：（1）∵拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于A（－1，0），B兩點，對稱軸為x=1．

∴B點坐標為（3，0），

把A（－1，0），B（3，0）代入y=－x2+bx+c，

得，解得，

∴拋物線的函數表達式為：y=－x2+2x+3

（2）如圖，連接BC，與對稱軸交于點P，則點P為所求

當x=0時，y=－x2+2x+3=3，∴點C（0，3）

設直線BC的函數表達式為y=kx+m，將B（3，0），C（0，3）

代入得，解得.

∴直線BC的函數表達式為y=－x+3.

當x=1時，y=－x+3=2

∴點P（1，2）

（3）存在過A，B兩點的拋物線，其頂點M關于x軸的對稱點為N，使得四邊形AMBN為正方形，

由AMBN是正方形，A（-1，0）B（3，0），得

M（1，-2），N（1，2），或M（1，2），N（1，-2），

①當頂點M（1，-2）時，設拋物線的解析式為y=a（x-1）2-2，
將A點坐標代入函數解析式，得
a（-1-1）2-2=0，

解得a=，

拋物線的解析式為，

②當M（1，2）時，設拋物線的解析式為y=a（x-1）2+2，將
A點坐標代入函數解析式，得
a（-1-1）2+2=0，

解得a=，

拋物線的解析式為，

綜上所述：或，使得四邊形AMBN為正方形．