Question

13．如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經過點A（-1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當a=1時，求四邊形MEFP面積的最大值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出最值及點P坐標．

解答 解：（1）∵對稱軸為直線x=2，
∴設拋物線解析式為y=a（x-2）²+k．
將A（-1，0），C（0，5）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+k=0}\\{4a+k=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=9}\end{array}\right.$，
∴y=-（x-2）²+9=-x²+4x+5．

（2）當a=1時，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．
設P（x，-x²+4x+5），
如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=x，ON=-x²+4x+5，
∴MN=ON-OM=-x²+4x+4．

S_{四邊形MEFP}=S_梯形OFPN-S_△PMN-S_△OME
=$\frac{1}{2}$（PN+OF）•ON-$\frac{1}{2}$PN•MN-$\frac{1}{2}$OM•OE
=$\frac{1}{2}$（x+2）（-x²+4x+5）-$\frac{1}{2}$x•（-x²+4x+4）-$\frac{1}{2}$×1×1
=-x²+$\frac{9}{2}$x+$\frac{9}{2}$
=-（x-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{153}{16}$，
∴當x=$\frac{9}{4}$時，四邊形MEFP的面積有最大值為$\frac{153}{16}$，
把x=$\frac{9}{4}$時，y=-（$\frac{9}{4}$-2）²+9=$\frac{143}{16}$．
此時點P坐標為（$\frac{9}{4}$，$\frac{143}{16}$）．

點評 此題考查拋物線與x軸的坐標特點，待定系數法求函數解析式，組合圖形的面積，求得函數解析式，利用函數的性質解決問題．