Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y＝mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標：

（3）在拋物線上存在點P(不與C重合)，使得△APB的面積與△ACB的面積相等，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，y＝x+3；（2）點M（﹣1，2）；（3）點P的坐標為：（﹣2，3）或（，﹣3）或（，﹣3）．

【解析】

（1）根據拋物線的對稱性求出B（﹣3，0），然后可設交點式為y＝a（x﹣1）（x+3），代入（0，3）求出a即可；然后再根據B、C坐標利用待定系數法求直線BC的解析式即可；

（2）點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點B，直線BC交拋物線對稱軸于點M，則點M即為所求，據此即可得解；

（3）△APB的面積與△ACB的面積相等，則|yP|＝yC＝3，即x22x＋3＝±3，求解即可．

（1）∵拋物線經過A（1，0），且對稱軸為直線x＝﹣1，

∴點B（﹣3，0），

設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3），

代入C（0，3）得：3＝a×（﹣1）×3，

解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；

由直線BC的解析式為：y＝mx+n，

代入B（﹣3，0），C（0，3）得：，解得：，

∴直線BC的解析式為：y＝x+3；

（2）點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點B（﹣3，0），直線BC交函數對稱軸于點M，則點M即為所求，

∵直線BC的解析式為：y＝x+3，

當x＝﹣1時，y＝2，

∴點M（﹣1，2）；

（3）△APB的面積與△ACB的面積相等，則|yP|＝yC＝3，

即﹣x2﹣2x+3＝±3，

當﹣x2﹣2x+3＝3時，解得：x1＝－2，x2＝0（舍去），

當﹣x2﹣2x+3＝－3時，解得：x1＝，x2＝，

故點P的坐標為：（﹣2，3）或（，﹣3）或（，﹣3）．