Question

已知，如圖1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在矩形ABCD的邊ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2，連接CF．

（1）如圖2，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求CF的長(zhǎng)和△FCG的面積；
（2）如圖1，設(shè)AE=x，△FCG的面積=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式與y的最大值．
（3）當(dāng)△CG是直角三角形時(shí)，求x和y值．

Answer 1

(1),6;(2)y=8?，7；（3）x="2,6," 4+2 或4-2，y=4，， 或4-2，

試題分析：（1）要求CF的長(zhǎng)和△FCG的面積，需先證△AEH≌△DHG≌△MGF
（2）先證△AEH∽△DHG，然后根據(jù)比例關(guān)系，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式與y的最大值；
（3）由畫(huà)圖可知∠FGC和∠GCF都不能為直角，當(dāng)∠GFC=90°時(shí)，E、F、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，所以△AEH∽△BCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例可求出解．
試題解析：（1）作FM⊥CD于M，

可證△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴MG=DH=6-2=4，CG=6,CM=2,DG=FM=2，
∴CF=
∴△FCG的面積=×6×2＝6；
（2）可證△AEH∽△DHG，
∴，即，
∴DG＝，
∴y=△FCG的面積=×(8?)×2＝8?，
∵8?＞0，x≤8，
∴1＜x≤8，
∴當(dāng)x=8時(shí)，y的最大值為7．
（3）當(dāng)∠GFC=90°時(shí)，E、F、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，
∴△AEH∽△BCE
∴ ，即 ，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或y＝．
當(dāng)∠GCF=90°時(shí)，此時(shí)F點(diǎn)正好落在邊BC上，
則△HAE∽△GDH，
則 ，
解得：x=4+2 或4-2，
對(duì)應(yīng)的y=4+2 或4-2．
當(dāng)∠CGF=90°時(shí)，C，G，H共線(xiàn)，所以不可能；
考點(diǎn): 1.矩形的性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì)．