Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓 的右頂點和上頂點分別為點A，B，M是線段AB的中點，且 ．．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若a=2，四邊形ABCD內接于橢圓，AB∥CD，記直線AD，BC的斜率分別為k1 ， k2 ， 求證：k1k2為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：A（a，0），B（0，b），線段AB的中點M ．

=（﹣a，b）， = ．

∵ ．

∴ + =﹣ b2，化為：a=2b．

∴橢圓的離心率e= = =

（2）解：證明：由a=2，可得b=1，

∴橢圓的標準方程為： +y2=1，A（2，0），B（0，1）．

直線BC的方程為：y=k2x+1，聯立 ，化為：（1+ ）x2+8k2x=0，

解得xC= ，∴yC= ．即C（ ， ）．

直線AD的方程為：y=k1（x﹣2），聯立 ，化為： x2﹣16 x+ ﹣4=0，

∴2xD= ，解得xD= ，yD= ，可得D（ ， ）

∴kCD= =﹣ ，

化為：1﹣16 +2k1﹣2k2+8 ﹣8 =0．

∴ （4k1k2+4k1﹣4k2+1）=0，

∴k1k2= ．

【解析】（1）A（a，0），B（0，b），線段AB的中點M ．利用 與離心率的計算公式即可得出．（2）由a=2，可得b=1，可得橢圓的標準方程為： +y2=1，A（2，0），B（0，1）．直線BC的方程為：y=k2x+1，直線AD的方程為：y=k1（x﹣2），分別于同一方程聯立解得C，D，坐標，利用kCD= =﹣ ，即可得出．