Question

【題目】如圖,已知等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC,∠PAB=α,點B關于直線AP的對稱點為點D，連接AD，連接BD交AP于點G，連接CD交AP于點E，交AB于點F.

（1）如圖當α=15°時,①按要求畫出圖形，②求出∠ACD的度數，③探究DE與BF的倍數關系并加以證明；

（2）在直線AP繞點A順時針旋轉的過程中（0°＜α＜75°），當△AEF為等腰三角形時，畫出相應圖形直接求出α的值為________．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②∠ACD=60°；③DE=2BF，理由見解析；（2）30°或52.5°．

【解析】

（1）①按要求畫出即可；

②根據點B關于直線AP的對稱點為點D，得到AP垂直平分BD，利用垂直平分線的性質，證明△ACD為等邊三角形，即可得到∠ACD=60°；

③DE=2BF，連接EB，根據AP垂直平分BD，得到ED=EB，利用等邊對等角得到∠3=∠4，利用等腰三角形的性質求出∠3=∠4=15°，∠5=30°，又因為AD=AC，AB平分∠DAC，所以AB⊥DC，即可得到EB=2BF，所以ED=2BF；

（2）畫出圖形，分三種情況討論：當AE=AF時；當AE=EF時；當EF=AF時．

（1）①如圖為所求作的圖形；

②∵ B、D關于AP對稱，

∴AP垂直平分BD，AD=AB，∠1=∠2=15°，

∴∠DAC=60°，

∴△ACD為等邊三角形，

∴∠ACD=60°；

③ DE=2BF ，理由如下：

連接 EB，

∴ED=EB，

∵AB=AD，∠DAB=30°，

∴∠ADB=75°，

又∵∠ADC=60°，

∴∠3=∠4=15°，

∴∠5=30°，

∵AD=AC ，

AB平分∠DAC ，

∴AB⊥DC ，

∴EB=2BF，

∴ED=2BF ；

（2）如圖2，

∵AD=AC，

∴△DAC是等腰三角形，

∴∠ADC=（180°-2α-30°）÷2=75°-α，

∴∠AEF=∠ADC+∠DAE=75°-α+α=75°，

當AE=AF時，∠EAF=α=180°-75°×2=180°-150°=30°；

當AE=EF時，∠EAF=α=（180°-75°）÷=52.5°；

當EF=AF時，∠AEF=∠EAF=a=75°（舍去），

故答案為：30°或52.5°．