Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線交BC的延長線于點D．

（1）求證：∠CAD＝∠B．

（2）若AC是∠BAD的平分線，sinB＝，BC＝2．求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為.

【解析】

（1）連結AO，并延長AO交⊙O與點E，連結EC，依據圓周角定理可得到∠B=∠E，然后根據直徑所對的圓周角為90°，得出∠E+∠EAC=90°，再根據切線的性質可得∠EAC+∠CAD=90°，進行證明即可；
（2）根據AC是∠BAD的平分線，結合（1）中結論證出BC=AC，然后由∠B=∠E可得到sinE=，從而可求得AE的長，然后可求得⊙O的半徑．

解：（1）連結AO，并延長AO交⊙O與點E，連結EC．

∵AD為⊙O的切線，

∴OA⊥AD，

∴∠EAD＝90°，

∴∠EAC+∠CAD＝90°．

∵AE為⊙O的直徑，

∴∠E+∠EAC＝90°，

∴∠E＝∠CAD．

又∵∠E＝∠B，

∴∠CAD＝∠B．

（2）∵AC是∠BAD的平分線，

∴∠BAC＝∠CAD．

又∵∠CAD＝∠B，

∴∠BAC＝∠CAB．

∴AC＝BC＝2．

又∵∠E＝∠B，

∴∠CAD＝∠B．

∴sinE＝sinB＝，

在RtAEC中，sinE＝，

即＝，解得AE＝，

∴⊙O的半徑為．