Question

【題目】閱讀理解
如圖（1），在正多邊形A1A2A3…An的邊A2A3上任取一不與點A2重合的點B2 ， 并以線段A1B2為邊在線段A1A2的上方作以正多邊形A1B2B3…Bn ， 把正多邊形A1B2B3…Bn叫正多邊形A1A2…An的準位似圖形，點A3稱為準位似中心．

特例論證
（1）如圖（2）已知正三角形A1A2A3的準位似圖形為正三角形A1B2B3 ， 試證明：隨著點B2的運動，∠B3A3A1的大小始終不變．

（2）如圖（3）已知正方形A1A2A3A4的準位似圖形為正方形A1B2B3B4 ， 隨著點B2的運動，∠B3A3A4的大小始終不變？若不變，請求出∠B3A3A4的大小；若改變，請說明理由．

（3）在圖（1）的情況下：
①試猜想∠B3A3A4的大小是否會發(fā)生改變？若不改變，請用含n的代數(shù)式表示出∠B3A3A4的大小（直接寫出結果）；若改變，請說明理由．
①∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1= （用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△A1A2A3與△A1B2B3是正三角形，

∴A1A2=A1A3，A1B2=A1B3，∠A2A1A3=∠B2A1B3=60°，

∴∠A2A1B2=∠A3A1B3，

∴△A2A1B2≌△A3A1B3，

∴∠B3A3A1=∠A2=60°，

∴∠B3A3A1的大小不變

數(shù)學思考

（2）

解：∠B3A3A4的大小不變，

理由：如圖，在邊A1A2上取一點D，使A1D=A3B2，連接B2D，

∵四邊形A1A2A3A4與A1B2B3B4是正方形，

∴A1B2=B2B3，∠A1B2B3=∠A1A2A3=90°，

∴∠A3B2B3+∠A1B2A2=90°，∠A2A1B2+∠A1B2A2=90°，

∴∠A3B2B3=∠A2A1B2，

∴△A3B2B3≌△DA1B2，

∴∠B2A3B3=∠A1DB2，

∵A1A2=A2A3，A1D=A3B2，

∴A2B2=A2D，

∵∠A1A2A3=90°，

∴△DA2B2是等腰直角三角形，

∴∠A1DB2=135°，

∴∠B2A3B3=135°，

∵∠A4A3A2=90°，

∴∠B3A3A4=45°，

即：∠B3A3A4的大小始終不變

歸納猜想

（3）

解：①∠B3A3B4的大小始終不變，理由：如圖1，

在A1A2上取一點D，使A1D=A3B2，

連接B2D，

∵∠A2A1B2=180°﹣∠A1B2A2，∠A3B2B3=180°﹣∠A1B2A2，

∴∠A2A1B2=∠A3B2B3，

∵A1B2=B2B3，

∴△A3B2B3≌△DA1B2，

∴∠B2A3B3=A1DB2，

∵A1A2=A2A3，A1D=A3B2，

∴A2D=A2B2，

∴∠A1DB2= （180°﹣∠A1A2B2）=90°﹣ × =90°﹣

∴∠B3A3A4=∠A1DB2﹣∠B2A3A4=90°﹣ ﹣ =

②由①知，∠B3A3A4= ，

同①的方法可得，∠B4A4A5= ×2，∠B5A5A6= ×3，…，∠BnAnA1= ×（n﹣2），

∴①∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1

= + ×2+ ×3+… ×（n﹣2）= ，

故答案為 ．

【解析】（1）先判斷出△A2A1B2≌△A3A1B3 ， 再利用等邊三角形的性質即可得出結論；（2）先判斷出△A3B2B3≌△DA1B2 ， 再利用正方形的性質即可得出結論；（3）①先判斷出△A3B2B3≌△DA1B2 ， 再利用正多邊形的邊相等和每個內角即可得出結論；②利用①的結論和方法即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．