Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=a（x﹣h）2﹣4（a＞0）與x軸分別交于原點O、A兩點，點A在x軸的正半軸上，頂點為D，直線y= x交拋物線于B點，過B作BE∥x軸交拋物線另一點E，交對稱軸于F．

（1）當DF=4a時，求BE的長．
（2）如圖2，連AD，連接AD繞點A旋轉交直線OB于點G，點D的對應點為G，當OG=2時，求a的值；
（3）在（2）的條件下，當0＜a＜1時，以OB為直徑作圓交x軸下方拋物線于點P，求點P坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

由題意D（h，﹣4），

∵DF=4a，

∴點F坐標（h，4a﹣4），

當y=4a﹣4時，4a﹣4=a（x﹣h）2﹣4，

解得x=h±2，

∴B（2+h，4a﹣4），E（h﹣2，4a﹣4），

∴BE=（2+h）﹣（h﹣2）=4．

（2）解：如圖2中，由題意OG=2，可得G（﹣ ，﹣1）或G′（ ，1）．

當AD=AG，A（2h，0），D（h，﹣4），

∴（2h+ ）2+1=h2+16，

∴h= 或﹣2 （舍棄），

∴A（ ，0），代入y=a（x﹣h）2﹣4，解得a=3，

當AD=AG′時，（2h﹣ ）2+1=h2+16，

解得h=2 或﹣ （舍棄），

∴A（4 ，0），代入y=a（x﹣h）2﹣4，解得a= ，

綜上所述，A的值為3或 ．

（3）解：由題意拋物線的解析式為y= x2﹣ x，

由 ，解得 ，或 ，

∴B（5 ，5），

∴OB=10，

∴線段OB的中點O′（ ， ）

設P（m， m2﹣ m），

由題意PO′=5，

∴（m﹣ ）2+（ m2﹣ m﹣ ）2=52，

∴m2﹣5 m+ +（ m2﹣ m）2﹣5（ m2﹣ m）+ =25，

∴m2﹣5 m+（ m2﹣ m）（ m2﹣ m﹣5）=0，

∴m2﹣5 m+ m（m﹣4 ）（m﹣5 ）（m+ ）=0

∴ m（m﹣5 ）（m2﹣3 m﹣3）=0

∴m=0或5 或 或 ，

∵點P在x軸下方，

∴P（ ， ）．

【解析】（1）由頂點式求出D（h,-4),再表示出B縱坐標，y=4a﹣4代入解析式，求出B、E兩點的橫坐標，求出其差，就是BE；（2）AD繞點A旋轉交直線OB于點G，位置有兩個，分類討論，利用兩點間距離公式列出方程，求出a值；（3）求出OB的中點，就是圓心，利用“圓上任意點到圓心距離等于半徑”及兩點間距離公式，列出方程，求出P的橫坐標m.