Question

【題目】某校數學興趣小組在探究如何求tan15°的值，經過自主思考、合作交流討論，得到以下思路：

思路一 如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB至點D，使BD＝BA，連接AD．……

思路二 如圖2，在頂角為30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若過點C作CD⊥AB于點D，則∠BCD＝15°……

思路三 利用科普書上的有關公式：tan（α＋β）＝；

tan（α―β）＝；…

請解決下列問題（上述思路僅供參考）．

（1）選擇你喜歡的一種思路，完成解答過程，求出tan 15°的值（保留根號）；

（2）試利用同樣的方法，計算tan22.5°的值（保留根號）．

Answer 1

【答案】（1）2－ ；（2）－1

【解析】

(1)選擇思路2，因為AB＝AC，∠A＝30°，CD⊥AB，可得CD＝AC，設CD＝AC＝x，根據勾股定理可得AD＝x，所以BD＝AB－AD＝2x－x＝（2－）x，從而求解.

（2）可設∠ABC=45°，因為AB＝BD，可得∠D=22，5°，設AB＝BD=。然后求出的值即可.

（1）思路2: 解：由已知AB＝AC，

∵∠A＝30°，CD⊥AB，∴CD＝AC＝x，∠BCD=90°-（180°-30°）=15°，

則AD2＝AC2－CD2＝（2x）2－x2＝3x2，∴AD＝x，

∴BD＝AB－AD＝2x－x＝（2－）x，

∴tan ∠BCD =tan15°＝＝＝2-．

（其它思路同樣可以）

（2）在圖1中，，設∠ABC＝45°，AB＝BD＝，

∴∠D＝∠ABC＝22.5°，∵AB＝，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝1，

∴CD＝1＋，

∴tan∠D=tan22.5°＝＝－1．