Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx+c與y軸交于點C，與x軸相交于A，B兩點，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q是線段OB上的動點，過點Q作QE∥BC，交AC于點E，連接CQ，設OQ=m，當△CQE的面積最大時，求m的值，并寫出點Q的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線，與該拋物線交于點P，與直線BC交于點F，D的坐標為（-2，0），則是否存在這樣的直線l，使OD=DF？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）把x=2，y=0；x=0，y=-4代入y=

1

2

x²+bx+c，
得

0= 1 2 ×4+2b+c -4=c.

解得

b=1 c=-4.

故所求拋物線的解析式為y=

1

2

x²+x-4．

（2）如圖1，作EG⊥AQ于點G，由（1）可知，點B的坐標為（-4，0）．
∴CO=4，AB=6，AQ=m+2．
∵QE∥BC，
∴△AEQ∽△ACB．
∴

EG

CO

=

AQ

AB

，即

EG

4

=

m+2

6

．
∴EG=

2m+4

3

．
∴S_△CQE=S_△ACQ-S_△AEQ=

1

2

AQ•CO-

1

2

AQ•EG=

1

2

(m+2)(4-

2m+4

3

)，
=-

1

3

m2+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

(m-1)2+3．
當m=1時，當△CQE的面積最大．
此時，點Q的坐標為（-1，0）．

（3）若存在，如圖2，
∵點B的坐標為（-4，0），D的坐標為（-2，0），DO=DF，
∴DB=DF．∴∠ABC=∠BFD．
∵OC=OB，∠ABC=∠BCO=45°．
∴∠ABC=∠BFD=45°．
∴FD⊥AB．
則F（-2，-2）．
∴

1

2

x²+x-4=-2．
解得x₁=-1-

5

，x₂=-1+

5

．
所以點P的坐標為（-1-

5

，-2）或（-1+

5

，-2）．