Question

【題目】如圖1，直線AB上有一點P，點M、N分別為線段PA、PB的中點，AB＝14.

(1)若點P在線段AB上，且AP＝8，求線段MN的長度；

(2)若點P在直線AB上運動，設AP＝x，BP＝y，請分別計算下面情況時MN的長度：

①當P在AB之間(含A或B)；

②當P在A左邊；

③當P在B右邊；

你發現了什么規律？

(3)如圖2，若點C為線段AB的中點，點P在線段AB的延長線上，下列結論：①的值不變；②的值不變，請選擇一個正確的結論并求其值．

圖1

,

圖2

,

Answer 1

【答案】（1）7.（2）①點P在AB之間，MN＝(x＋y)；②點P在A左邊，MN＝(y－x)；③點P在BA的延長線上，MN＝(x－y)；（3）選擇②①＝ (在變化)；②＝2

【解析】

（1）由AP＝8且點M是AP的中點易得MP＝AP＝4，BP=AB－AP＝6，再由點N是PB的中點可知PN＝PB＝3，則MN＝MP＋PN＝7；

（2）根據線段中點的性質，可得MP和NP的表達式，再根據線段的和差關系分別計算三種情況下MN的長度即可；

（3）根據線段的和差，分別可得PA-PB=AB，PA+PB=PC+AC+PC-BC=2PC，再根據分式的性質即可判斷.

解：(1)∵AP＝8，點M是AP的中點，

∴MP＝AP＝4，

∴BP＝AB－AP＝6.

又∵點N是PB的中點，

∴PN＝PB＝3，

∴MN＝MP＋PN＝7.

(2)①點P在AB之間，MN＝MP＋PN==(x＋y)；

②點P在A左邊，MN＝PN-MP=-=(y－x)；

③點P在BA的延長線上，MN=MP-PN=-==(x－y)．

(3)選擇②.

①，由于PC長度不固定，故 的值是變化的；

②，是定值，

故正確的結論是②，其值為2.