Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點，與y軸相交于點C（0，）．連接AC、BC．
（1）則拋物線的對稱軸為直線______；拋物線的解析式為______；
（2）若點M，N同時從B點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA，BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為t時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B恰好落在AC的P，求t值及點P坐標；
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在請說明理由；若存在，請直接寫出F點坐標．

Answer 1

解：（1）（每空，共4分）對稱軸為x=-1；
設拋物線的解析式是y=a（x+3）（x-1），
代入C的解析式得：a×3×（-1）=，則a=-，
則拋物線的解析式為，
或是．
（2）如圖1，

∵M、N點的運動速度相同，
∴BM=BN=t，又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t，
∴四邊形BMPN是菱形，
∴PN平行MB（即x軸），
∴△CPN∽△CAB，
∴，易得AB=4，BC=2，
∴，解得，
∴NB=，
∴CN=，
∴，代入可解得，
∴，
∴P．
（3）（前2種情況各，最后一種，共5分）

設E點坐標為（-1，a）
①如圖2，當AF=AC時，∵AC=，
∴AF=，
∴EF=，
∴F₁（-1，2），F₂（-1，-2）；
②如圖3，當CE=CA時，
∴CF=，易得CG=1，
∴FG=，
∴EF=，
∴F₃（-1，-），F₄（-1，+）；
③如圖4，當FA=FC時，F點為AC垂直平分線與對稱軸的交點，
則PF₅=2PH=2（CH-CP）==，而PF=OD=，
所以F₅與E點重合，坐標為（-1，0）．
分析：（1）A、B是對稱點，據此即可求出函數的對稱軸，利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）易證四邊形BMPN是菱形，則PN平行MB（即x軸），可以得到△CPN∽△CAB，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得t的值，以及P的坐標；
（3）當AE=AC時，可以求得AC的長，設拋物線的對稱軸與x軸的交點是H，設出F的縱坐標，在直角△AMH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐標；
當CF=CA時，作CG⊥對稱軸與點G，設出F的縱坐標，在直角△AGH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐標；
當FA=FC時，F點為AC垂直平分線與對稱軸的交點，據此即可求得．
點評：本題考查了二次函數與等腰三角形的綜合應用題，正確進行討論是關鍵．