Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+ax+c與y軸交于點C（0，-2），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動點，N是線段OC上一動點，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當△MNC的面積最大時，求點M、N的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P，與線段AC交于點F，點D的坐標為（-1，0）．問：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用A、C的坐標，即可由待定系數法求得拋物線的解析式．
（2）首先設出點M的橫坐標，即可表示出N點的坐標，進而可求得CN的長，以CN為底，OM為高，可求得△MNC的面積，從而得到關于△NMC和M點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得△MNC的最大面積及對應的M、N點坐標．
（3）欲求點P的坐標，首先要求出點F的縱坐標，分三種情況：
①OD=DF，已求得A（-2，0），D（-1，0），那么AD=OD=DF=1，即△AFO是等腰直角三角形，且FD是斜邊上的高，可據此求得F點的縱坐標為-1，將其代入拋物線的解析式中，即可求得P點的坐標；
②OF=FD，過F作x軸的垂線，設垂足為E，根據等腰三角形三線合一的性質可得出E點的坐標，進而可得到AE的長，由于△AFE是等腰直角三角形，那么AE=EF，由此求出點F的縱坐標，將其代入拋物線的解析式中，即可得到點P的坐標；
③OD=OF=1，由于O到直線AP的距離為

2

＞1，因此這種情況不成立．

解答：解：
（1）由題意，得

4a-2a+c=0 c=-2

，（1分）
解得

a=1 c=-2

；（2分）
∴所求拋物線的解析式為：y=x²+x-2．（3分）

（2）設點M的坐標為（m，0），則OM=m，ON=2m，CN=2-2m；（4分）
則S_△MNC=

1

2

NC•OM
=

1

2

（2-2m）•m=-m²+m=-（m-

1

2

）²+

1

4

；（7分）
由x²+x-2=0，得x₁=-2，x₂=1；
∴點B的坐標為（1，0）．（8分）
則0＜m＜1，
∴當m=

1

2

時，S_△MNC有最大值

1

4

，
此時，點M的坐標為（

1

2

，0），點N的坐標為（0，-1）．（9分）

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1；
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45°．
∴∠DFA=∠OAC=45°．
∴∠ADF=90°．
此時，點F的坐標為（-1，-1）；
由x²+x-1=-1，得x₁=

1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

；
此時，點P的坐標為：（

1+ 5

2

，-1）或（

-1- 5

2

，-1）；（10分）
②若FO=FD，過點F作FE⊥x軸于點E．
由等腰三角形△AEF中，FE=AE=

3

2

．
∴F（-

1

2

，-

3

2

）．
由x2+x-2=-

3

2

，得x1=

-1+ 3

2

，x2=

-1- 3

2

．
此時，點P的坐標為：(

-1+ 3

2

，-

3

2

)或(

-1- 3

2

，-

3

2

)．（11分）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=2

2

．
∴點O到AC的距離為

2

，而OF=OD=1＜

2

，
此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點P的坐標為：(

-1+ 5

2

，-1)或(

-1- 5

2

，-1)或(

-1+ 3

2

，-

3

2

)或(

-1- 3

2

，-

3

2

)．（12分）

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數最值的應用、等腰三角形的構成條件、等腰三角形的性質等知識，同時考查了分類討論的數學思想，難度較大．