Question

已知：如圖，拋物線的頂點為點D，與y軸相交于點A，直線y=ax+3與y軸也交于點A，矩形ABCO的頂點B在此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）⊙P是經過A、B兩點的一個動圓，當⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點的距離為4時，求圓心P的坐標；
（3）若線段DO與AB交于點E，以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似，如果有可能，請求出點D坐標及拋物線解析式；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知的直線解析式，可得到點A的坐標，進而可利用矩形的面積求出OC、AB的長，即可得到B、C的坐標，由于AB∥x軸，且同時在拋物線的圖象上，根據這兩點的坐標，即可確定拋物線的對稱軸方程；
（2）由于⊙P同時經過點A、B，根據拋物線和圓的對稱性知，圓心P必在拋物線的對稱軸上，由此可確定點P的橫坐標；由于⊙P與y軸兩交點的距離正好等于AB的長，根據圓心角、弦的關系，即可得到P到y軸的距離應該等于P到AB的距離，由此可確定點P的縱坐標，即可得到點P的坐標；
（3）假設兩個三角形相似，顯然∠DAO＞∠DAE，因此只有一種情況：∠DAE=∠DOA，可過D作DM⊥y軸，作DN⊥x軸，即可得到∠DAM=∠DON，易證得△DAM∽△DON，設出點D的縱坐標，然后表示出AM、DN的長，進而根據相似三角形得到的比例線段求出點D的縱坐標，也就得到了點D的坐標，而后可利用待定系數法求出該拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵直線y=ax+3與y軸交于點A，
∴點A坐標為（0，3），
∴AO=3，
∵矩形ABCO的面積為12，
∴AB=4，
∴點B的坐標為（4，3），
∴拋物線的對稱軸為直線x=2；
                                                                     
（2）∵⊙P經過A、B兩點，
∴點P在直線x=2上，即點P的坐標為（2，y），
∵⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點的距離為4，
又∵AB=4，
∴點P到AB的距離等于點P到y軸的距離為2，
∴四邊形PEAF是正方形，
∴PE=2，
∵OA=3，
∴OF=1，
同理：AM=2，
∴OM=5，
∴點P的坐標為（2，1）或（2，5）；

（3）①當△DAE∽△DAO，則∠DAE=∠DAO，與已知條件矛盾，此情況不成立．
過點D作DM⊥y軸，垂足為點M，DN⊥x軸，垂足為點N，

設點D坐標為（2，y），
則ON=DM=2，DN=OM=y，AM=y-3；
②當△DAE∽△DOA，則∠DAE=∠DOA，
∴∠DAM=∠DON，
∵∠DMA=∠DNO=90°，
∴△DAM∽△DON，
∴

ON

AM

=

DN

DM

，
∴

2

y-3

=

y

2

，
∴y²-3y-4=0，
解得：y₁=-1（舍），y₂=4，
∴點D坐標為（2，4）．
由頂點坐標為（2，4），設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+4，
將（0，3）代入，得a=-

1

4

，
∴拋物線解析式為y=-

1

4

(x-2)2+4．

點評：此題考查了二次函數、圓的對稱性，圓心角、弧、弦的關系，相似三角形的判定和性質，二次函數解析式的確定等重要知識，涉及知識點較多，難度較大．