Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝100°，點D是底邊BC的動點（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE與AC交于點E．

（1）當DC等于多少時，△ABD與△DCE全等？請說明理由；

（2）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求出∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當DC＝4時，△ABD≌△DCE，理由詳見解析；（2）當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．

【解析】

（1）當DC＝4時，利用∠DEC＋∠EDC＝140，∠ADB＋∠EDC＝140，得到∠ADB＝∠DEC，根據AB＝DC＝4，證明△ABD≌△DCE；

（2）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三種情況，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算．

解：（1）當DC＝4時，△ABD≌△DCE，

理由：∵AB＝AC＝4，∠BAC＝100，

∴∠B＝∠C＝40，

∴∠DEC+∠EDC＝140，

∵∠ADE＝40，

∴∠ADB+∠EDC＝140，

∴∠ADB＝∠DEC，

在△ABD和△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；

（2）當∠BDA的度數為110或80時，△ADE的形狀是等腰三角形，

當DA＝DE時，∠DAE＝∠DEA＝70，

∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70+40＝110；

當AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝40，

∴∠DAE＝100，

此時，點D與點B重合，不合題意；

當EA＝ED時，∠EAD＝∠ADE＝40，

∴∠AED＝100，

∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝60，

∴∠BDA＝180﹣40﹣60＝80

綜上所述，當∠BDA的度數為110或80時，△ADE的形狀是等腰三角形．