Question

【題目】如圖：對稱軸x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），且點(diǎn)（2，5）在拋物線y=ax2+bx+c上．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．

①點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC，求點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)．

②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3；

（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）；

②當(dāng)x=﹣時，QD有最大值．

【解析】試題分析：（1）因?yàn)閽佄锞�的對稱軸為x=-1，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）與（2，5）在拋物線上，代入拋物線的解析式，即可解答；（2）①先由二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），根據(jù)S△POC=4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-x-3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x-3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值．

試題解析：（1）因?yàn)閽佄锞�的對稱軸為x=﹣1，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）與（2，5）在拋物線上，則：

，

解得： ．

所以拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3．

（2）①二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3，

∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），OC=3．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC=4S△BOC，

∴×3×|x|=4××3×1，

∴|x|=4，x=±4．當(dāng)x=4時，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；

當(dāng)x=﹣4時，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）；

②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得，

解得： ．

即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3．

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），

QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣，

∴當(dāng)x=﹣時，QD有最大值．