Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過，兩點，與軸正半軸交于點，連接，為線段上的動點，與，不重合，作交于，關于的對稱點為，連接，，．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點在拋物線上時，求點的坐標；

(3)設點的橫坐標為，與重疊部分的面積為．

①直接寫出與的函數關系式；

②當為直角三角形時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(1，0)；（3）①當-3＜x≤時，S=；當＜x＜4時，S=；②的值是或．

【解析】

（1）求出點A，B坐標，代入拋物線解析式，解關于b，c的方程組即可；

（2）設點P(x，0)，易得OB=OC，得到∠BCP=45°，由，得∠QPA=∠BCO=45°，從而有∠APD=90°，故D（x，x+3），代入解析式即可得解.

（3）①分兩種情況i)當點P在線段AC的中點左側時，始終在內部，ii)當點p在線段AC的中點右側時，有部分在外部，然后分別計算重疊部分的面積求解即可.②分∠QDB=90°與∠QBD=90°，由PQ∥BC，得到，得到 QB=，又BD=,利用勾股定理建立方程求解即可.

（1）令x=0，則y=4，令y=0，則x=-3

∴A（-3，0）B（0，4）∵拋物線經過A，B兩點，

∴

解得，c=4

∴

（2）設P點坐標為(x，0)

令=0

解得

∴OB=OC=4

∴∠BCO=45°

又PQ∥BC

∴∠QPA=∠BCO=45°

∴∠APD=90°

∴D（x，x+3）

∴，解得

∵P與A，C不重合

∴P(1，0)

（3）為便與計算，先設點P的坐標為（m，0），又PQ∥BC，則直線PQ的解析式為y=-x-m，

由 解得：，即 ，

則=

i)當點P在線段AC的中點的左側時，即-3＜m≤,始終在內部，與重疊部分的面積為===,

ii)當點P在線段AC的中點的右側時，即＜m＜4，有部分在外部，如圖2所示，∵PQ∥BC，易知∽,∴（，分別為PQ，BC上的高，）∴易得的邊MN上的高與邊PQ上的高之比為，又∵∽,∴,=,

∴與重疊部分的面積為=-=-=

,

∵點P（x,0），將上面式子中的m換為x即可.

②∵∠AQP=∠PQD=∠ABC=45°,

∴∠AQD>90°，

∴∠BQD≠90°，

i)當∠QDB=90°時，

設P(x，0)，則D(x，x+3)，AP=x+3,且易知AB=5，AC=7

又PQ∥BC

∴，

∴AQ=

∴QB=，

又∵B(0,4)，D(x，x+3)，

∴BD=，

∵∠QDB=90°，

∴

∴

整理得：

解之得：（與點A重合，舍），

∴P(，0)

ii)若∠QBD=90°，

同理：

∴

整理得：

解之得：（與點C重合，舍）

∴P(，0)

∴當△BDQ為直角三角形時，的值是或．

∴ 綜上① i)當-3＜x≤時，S=, ii)當＜x＜4時，S=

②當△BDQ為直角三角形時，的值是或．