Question

（2012•溧水縣一模）七年級我們曾學過“兩點之間線段最短”的知識，常可利用它來解決兩條線段和最小的相關問題，下面是大家非常熟悉的一道習題：
如圖1，已知，A，B在直線l的同一側，在l上求作一點，使得PA+PB最小．
我們只要作點B關于l的對稱點B′，（如圖2所示）根據對稱性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相當于求AP+PB′最小，顯然當A、P、B′在一條直線上時AP+PB′最小，因此連接AB'，與直線l的交點就是要求的點P．
有很多問題都可用類似的方法去思考解決．
探究：
（1）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，P是BD上一動點．連接EP，CP，則EP+CP的最小值是

5

；
運用：
（2）如圖4，平面直角坐標系中有三點A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x軸上找一點D，使得四邊形ABCD的周長最小，則點D的坐標應該是

（2，0）

；

操作：
（3）如圖5，A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各求作一點B，C，組成△ABC，使△ABC周長最小．（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質可得點A是點C關于BD的對稱點，連接AE，則AE就是EP+CP的最小值；
（2）找點C關于x軸的對稱點C'，連接AC'，則AC'與x軸的交點即為點D的位置，先求出直線AC'的解析式，繼而可得出點D的坐標．
（3）分別作點A關于OM的對稱點A'、關于ON的對稱點A''，連接A'A''，則A'A''與OM交點為點B的位置，與ON交點為C的位置．

解答：解：（1）∵點A是點C關于BD的對稱點，連接AE，則AE就是EP+CP的最小值，
∴EP+CP的最小值=AE=

5

；

（2）作點C關于x軸的對稱點C'，連接AC'，則AC'與x軸的交點即為點D的位置，
∵點C'坐標為（0，-2），點A坐標為（6，4），
∴直線C'A的解析式為：y=x-2，
故點D的坐標為（2，0）；

（3）分別作點A關于OM的對稱點A'、關于ON的對稱點A''，連接A'A''，則A'A''與OM交點為點B的位置，與ON交點為C的位置；
如圖所示：點B、C即為所求作的點．

點評：此題考查了利用軸對稱求解最短路徑的問題，求解模式題意已經給出，注意仔細理解，靈活運用題目所給的信息．