Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，頂點為D．

（1）如圖1，求△BCD的面積；

（2）如圖2，P是拋物線BD段上一動點，連接CP并延長交x軸于E，連接BD交PC于F，當△CDF的面積與△BEF的面積相等時，求點E和點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）E（5，0），P（，﹣）

【解析】

（1）分別求出點C，頂點D，點A，B的坐標，如圖1，連接BC，過點D作DM⊥y軸于點M，作點D作DN⊥x軸于點N，證明△BCD是直角三角形，即可由三角形的面積公式求出其面積；

（2）先求出直線BD的解析式，設P（a，a2﹣2a﹣3），用含a的代數式表示出直線PC的解析式，聯立兩解析式求出含a的代數式的點F的坐標，過點C作x軸的平行線，交BD于點H，則yH＝﹣3，由△CDF與△BEF的面積相等，列出方程，求出a的值，即可寫出E，P的坐標．

（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，

當x＝0時，y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

當x＝﹣＝1時，y＝﹣4，

∴頂點D（1，﹣4），

當y＝0時，

x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

如圖1，連接BC，過點D作DM⊥y軸于點M，作點D作DN⊥x軸于點N，

∴DC2＝DM2+CM2＝2，BC2＝OC2+OB2＝18，DB2＝DN2+BN2＝20，

∴DC2+BC2＝DB2，

∴△BCD是直角三角形，

∴S△BCD＝DCBC＝×3＝3；

（2）設直線BD的解析式為y＝kx+b，

將B（3，0），D（1，﹣4）代入，

得，

解得，k＝2，b＝﹣6，

∴yBD＝2x﹣6，

設P（a，a2﹣2a﹣3），直線PC的解析式為y＝mx﹣3，

將P（a，a2﹣2a﹣3）代入，

得am＝a2﹣2a﹣3，

∵a≠0，

∴解得，m＝a﹣2，

∴yPC＝（a﹣2）x﹣3，

當y＝0時，x＝，

∴E（，0），

聯立，

解得，，

∴F（，），

如圖2，過點C作x軸的平行線，交BD于點H，則yH＝﹣3，

∴H（，﹣3），

∴S△CDF＝CH（yF﹣yD），S△BEF＝BE（﹣yF），

∴當△CDF與△BEF的面積相等時，

CH（yF﹣yD）＝BE（﹣yF），

即×（+4）＝（﹣3）（﹣），

解得，a1＝4（舍去），a2＝，

∴E（5，0），P（，﹣）．