Question

【題目】如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM=BN，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F，連接CF，若正方形的邊長為4，則線段CF的最小值是_____．

Answer 1

【答案】2﹣2

【解析】分析：根據正方形的性質可得AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，然后利用“HL”證明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”證明△DCE和△BCE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AFD=90°，取AD的中點O，連接OF、OC，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OF=AD=2，利用勾股定理列式求出OC，然后根據三角形的三邊關系可知當O、F、C三點共線時，CF的長度最小．

詳解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE．在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1=∠2．在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．

∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，∴∠1+∠ADF=90°，∴∠AFD=180°﹣90°=90°，取AD的中點O，連接OF、OC，則OF=DO=AD=2．在Rt△ODC中，OC===2，根據三角形的三邊關系，OF+CF＞OC，∴當O、F、C三點共線時，CF的長度最小，最小值=OC﹣OF=2﹣2．

故答案為：2﹣2．