Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm,BC=6cm.某一時刻，動點M從A點出發沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：

（1）經過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的九分之一？

（2）是否存在時刻t，使以A,M,N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1秒或2秒；（2）秒或秒

【解析】試題分析：（1）設時間為x，根據速度表示出所涉及到的線段的長度，根據△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，列方程求解即可；（2）先假設相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在．

試題解析：

（1）設經過x秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 ，

由題意得DN=2x，AN=6-2x，AM=x，

∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，

∴AD=BC=6，CD=AB=3，

矩形ABCD的面積為：ABAD=3×6=18，

△AMN的面積=ANAM＝x(62x)＝3xx2=×18，

可得方程x2-3x+2=0，

解得x1=1，x2=2，

答：經過1秒或2秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的；

（2）由題意得DN=2t，AN=6-2t，AM=t，

若△NMA∽△ACD，

則有 ，即 ，

解得x=1.5，

若△MNA∽△ACD

則有，即，

解得x=2.4，

答：當t=1.5秒或2.4秒時，以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似．