Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中AB∥CD，對角線AC，BD相交于O，點E，F分別為BD上兩點，且BE=DF，∠AEF=∠CFB.

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)若AC=2OE，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）已知AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ABD=∠CDB，由∠AEF=∠CFB，根據平角的定義可得∠AEB=∠CFD，利用ASA證得△ABE≌△CDF，根據全等三角形的性質可得AB=CD，由AB∥CD，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得四邊形ABCD是平行四邊形；（2）平行四邊形AECF是矩形，根據平行四邊形的性質可得OB=OD ，OA=OC=AC，由BE=DF證得OE=OF，根據對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可判定四邊形AECF是平行四邊形，再證得AC=EF，根據對角線相等的平行四邊形是矩形即可判定平行四邊形AECF是矩形．

試題解析：

(1)證明：∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

又∵∠AEF=∠CFB，

∴∠AEB=∠CFD，

又∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF(ASA)，

∴AB=CD，

又∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

(2) 平行四邊形AECF是矩形，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB=OD ，OA=OC=AC，

∵BE=DF，

∴OB﹣BE=DO﹣DF，

∴OE=OF，

又∵OA=OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

又∵AC=2OE，EF=2OE，

∴AC=EF，

∴平行四邊形AECF是矩形.