Question

【題目】已知在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，點P是直線AB上任意一點，聯結PC，在∠PCD內部作射線CQ與對角線BD交于點Q（與B、D不重合），且∠PCQ=30°.

（1）如圖，當點P在邊AB上時，如果BP=3，求線段PC的長；

（2）當點P在射線BA上時，設，求y關于的函數解析式及定義域；

（3）聯結PQ，直線PQ與直線BC交于點E，如果與相似，求線段BP的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）或

【解析】

（1）如圖1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，由勾股定理即可解決問題．
（2）如圖1中，作PH⊥BC于H，連接PQ，設PC交BD于O．證明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ，推出PQ=CQ=y，推出PC=y，在Rt△PHB中，BH=x，PH=x，根據PC2=PH2+CH2，可得結論．
（3）分以下幾種情形：①如圖2中，若直線QP交直線BC于B點左側于E．②如圖3中，若直線QP交直線BC于C點右側于E．③如圖④中，點P在AB的延長線上，直線PQ與BC的交點E在線段BC上．分別求解即可.

解：（1）如圖1中，作PH⊥BC于H．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=4，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠A=120°，
∴∠PBH=60°，
∵PB=3，∠PHB=90°，
∴BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=，
∴CH=BC-BH=4-=，
∴PC==．

（2）如圖1中，作PH⊥BC于H，連接PQ，設PC交BD于O．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵∠PCQ=30°，
∴∠PBO=∠QCO，
∵∠POB=∠QOC，
∴△POB∽△QOC，
∴，
∴，
∵∠POQ=∠BOC，
∴△POQ∽△BOC，
∴∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ，
∴PQ=CQ=y，
∴PC=y，
在Rt△PHB中，BH=x，PH=x，
∵PC2=PH2+CH2，
∴3y2=（x）2+（4-x）2，
∴y=（0≤x＜8）.

（3）①如圖2中，若直線QP交直線BC于B點左側于E．
此時∠CQE=120°，
∵∠PBC=60°，
∴△PBC中，不存在角與∠CQE相等，
此時△QCE與△BCP不可能相似．

②如圖3中，若直線QP交直線BC于C點右側于E．
則∠CQE=∠ABC=∠QBC+∠QCP=60°=∠CBP，
∵∠PCB＞∠E，
∴只可能∠BCP=∠QCE=75°，
作CF⊥AB于F，則BF=2，CF=2，∠PCF=45°，
∴PF=CF=2，
此時PB=2+2.

③如圖4中，若點P在AB的延長線上，直線PQ與BC的交點E在線段BC上，

因為∠EQC=∠PBC=120°，

要使與相似，
只有∠QCE=∠PCE=15°，

此時∠BPC=45°，

過點C作CF⊥AB于F，

可得BF=2，CF=2=PF,

此時PB=PF-BF=2-2.

綜上所述，滿足條件的PB的值為2+2或2-2．