Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB上的點，且CE＝BF，連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG，FC.

(1)請判斷：FG與CE的數量關系是__________，位置關系是__________；

(2)如圖2，若點E、F分別是CB、BA延長線上的點，其它條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請出判斷判斷并給予證明．

Answer 1

【答案】(1) FG＝CE，FG∥CE；(2)成立，理由見解析.

【解析】

(1)結論：FG＝CE，FG∥CE，如圖1中，設DE與CF交于點M，首先證明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可；

(2)結論仍然成立，如圖2中，設DE與CF交于點M，首先證明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可．

(1)結論：FG＝CE，FG∥CE.

理由：如圖1中，設DE與CF交于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠ABC＝∠DCE＝90°，

在△CBF和△DCE中，，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，

∵∠BCF＋∠DCM＝90°，

∴∠CDE＋∠DCM＝90°，

∴∠CMD＝90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG＝DE，CF＝DE，

∴EG＝CF，

∴四邊形EGFC是平行四邊形．

∴GF＝EC，

∴GF＝EC，GF∥EC.

故答案為FG＝CE，FG∥CE；

(2)結論仍然成立．

理由：如圖2中，設DE與CF交于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠ABC＝∠DCE＝90°，

在△CBF和△DCE中，，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，

∵∠BCF＋∠DCM＝90°，

∴∠CDE＋∠DCM＝90°，

∴∠CMD＝90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG＝DE，CF＝DE，

∴EG＝CF，

∴四邊形EGFC是平行四邊形．

∴GF＝EC，

∴GF＝EC，GF∥EC.