Question

【題目】如圖，四邊形中，，平分，交于．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若點是的中點，試判斷的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）是直角三角形，理由詳見解析.

【解析】

(1)利用兩組對邊平行可得該四邊形是平行四邊形，進而證明一組鄰邊相等可得該四邊形為菱形；

(2)利用菱形的鄰邊相等的性質及等腰三角形的性質可得兩組角相等，進而證明∠ACB為直角即可．

(1)∵AB∥CD，CE∥AD，

∴四邊形AECD為平行四邊形，∠2=∠3，

又∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴AD=DC，

∴平行四邊形AECD是菱形；

(2)直角三角形，理由如下：

∵四邊形AECD是菱形，

∴AE=EC，

∴∠2=∠4，

∵AE=EB，

∴EB=EC，

∴∠5=∠B，

又因為三角形內角和為180°，

∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，

∴∠ACB=∠4+∠5=90°，

∴△ACB為直角三角形．